Az ígéretres tehetségnek tartott Kvjat 2014-ben bemutatkozott be Toro Rossónál, 2015-től már az anyacsapatnál, a Red Bullnál versenyzett, ám nehezen tudta kezelni a ránehezedő nyomsát, így 2016-ban lefokozták, vagyis ismét a fiókcsapathoz került. A 2017-es idény közepén a Red Bull programjából is ejtették=kirúgták, de a Ferrari leigazolta az orosz pilótát, igaz csak fejlesztői munkára.